En Madrid, si tienes niños, hasta los 4 años pueden viajar sin billete y generalmente no se pide ninguna identificación que acredite la edad (salvo si «canta» mucho, claro), pero a partir de los 4 es necesaria una tarjeta especial que se llama Tarjeta Infantil de Transporte.
Se pide online en esta web (aunque también hay puntos físicos para hacerlo) y rellenar los datos es muy sencillo, lo único un poco más especial es que tendrás que aportar foto de la página del libro de familia (o lo que tengas, ya que desde hace un par de años ya no se entrega) donde venga tu hijo. Después de enviado el formulario llega en unos 15 días.
Para usarla es como la tarjeta que usamos los adultos, se pasa por el lector al subir al autobús o al entrar en el metro y el aparato pita. No tiene más historia.
Por cierto, no dejan pedirla hasta una vez que el niño haya cumplido los 4 años, así que si quieres tenerla el día que los cumpla no es posible salvo que lo hagas de manera física.